Ta có: \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{3}\) ; 

\(AM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

Áp dụng định lý talet:

\(\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{MI}{BI}=\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IC=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\\IB=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow IB^2+IC^2=2a^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\Delta IBC\) vuông tại I \(\Rightarrow BM\perp AC\Rightarrow BM\perp\left(SAC\right)\)

Mà \(BM\in\left(SMB\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(SMB\right)\)

Đáp án A

Vì A M / / B C ⇒ I M I B = M A B C = 1 2 ⇒ d I ; A D d B ; A D = 1 3  

Suy ra S Δ I M A = 1 2 d I ; A D . A M = 1 2 . 1 3 d B ; A D . 1 2 A D = S A B C D 12  

Mà N là trung điểm của S C ⇒ d N ; A B C D = 1 2 d S ; A B C D  

Vậy  V A M N I V S . A B C D = d N ; A B C D d S ; A B C D . S Δ I M A S A B C D = 1 2 . 1 12 = 1 24

Đáp án là D

Coi hình chóp AMNI  với điểm N làm đỉnh và AMI  làm đáy

+) Từ N là trung điểm của SC nên đường cao

+) Lấy O là tâm hình chữ nhật ta có BM, AO là các trung tuyến nên I là trọng tâm tam giác ABD  nên

+) Suy ra 

Đáp án là D

Đáp án C

Kẻ CN ⊥ AB ta dễ dàng tính được 

=> tam giác ADC vuông tại C. Từ đó NC ⊥ (SAC)

Gọi O là trung điểm của AC, dễ dàng cm được BD ⊥ (SAC)

=> MK ⊥ (SAC). vơí K là trung điểm của SO, từ đó KC là hc của MN lên .

Ta kẻ KZ ⊥ AC

với T là trung điểm của AB.

Gọi α  là góc tạo với MN và (SAC)

Chọn C

Ta gọi E, F lần lượt là trung điểm của SC, AB

Ta có ME//NF(do cùng song song với BC. Nên tứ giác MENF là hình thang, và 

hay tứ giác MENF là hình thang vuông tại M, F

Ta có:  hay E là hình chiếu vuông góc của N lên (SAC)

Từ đó ta có được, góc giữa MN và (SAC) là góc giữa MN và CI

Suy ra, gọi  α là góc giữa MN và (SAC) thì